Фінансові коефіцієнти призначені для аналізу фінансового стану чи підприємства для порівняльного аналізу діяльності підприємства в різні періоди часу.

Розглянемо систему основних коефіцієнтів. У неї входять три групи:

1. Коефіцієнти, що відбивають інтереси власників компанії.

2. Коефіцієнти, що відбивають інтереси короткострокових кредиторів.

3. Коефіцієнти, що відбивають інтереси довгострокових кредиторів.

Розглянемо коефіцієнти, що відбивають інтереси власників

1. Прибуток на одну акцію (EPS)

PS= Чистий прибуток - привілейовані дивіденди

Середнє число звичайних акцій (1.4.1)

Показує, яка частка чистого прибутку приходиться на одну звичайну акцію в звертанні. Якщо в структурі капіталу маються привілейовані акції, з чистого прибутку повинна бути віднята сума дивідендів по них. Розрахунок цього показника виробляється тільки для періоду один рік.

2. Прибуток на акцію з урахуванням конвертації.

У прикладі привілейовані акції є конвертованими у відношенні 1:3. Конвертуються всі привілейовані акції.

Чистий прибуток

Середнє число звичайних акцій +конвертовані акції (1.4.2)

3. Коефіцієнт ринкової вартості акцій.

Ринкова ціна акції = P

Прибуток на одну акцію EPS (1.4.3)

Показує, скільки грошових одиниць згодні платити акціонери за одну грошову одиницю чистого прибутку компанії.

Зміна коефіцієнта свідчить про те, що чекання інвесторів у відношенні успішної діяльності компанії перевищують реальні темпи збільшення прибутковості.

4. Коефіцієнт дивідендних виплат .

Дивіденд на акцію

EPS

5. Відношення дивіденду до ринкової вартості акцій.

Дивіденд на акцію

Ринкова ціна акції (1.4.4)

6. Коефіцієнт віддачі активів (прибутковість активів)

ROA= Чистий прибуток +%платежів(1-H)

Середнє число активів (1.4.5)

H- податковий індекс на прибуток.

У фінансовому менеджменті є 2 відповідальності: перша зв'язана з одержанням грошей, друга - з найбільш ефективним їхнім використанням. Коли виникає необхідність оцінити прибутковість активів, варто виключити вплив особливості позикового капіталу (виплата % до податків), тобто привести позиковий і власний капітал до єдиної бази.

7. Прибутковість власного капіталу.

ROE= Чистий прибуток-привілейовані дивіденди

Середнє значення власного капіталу (1.4.6)

Коефіцієнти, що відбивають інтереси короткотермінових кредиторів

Коефіцієнти ліквідності – оцінюють здатність підприємства платити по короткострокових зобов'язаннях.

1. Коефіцієнт поточної ліквідності.

CR= оборотні кошти

Короткострокові зобов'язання (1.4.7)

Цей коефіцієнт показує, чи досить у підприємства засобів, що можуть бути використані для погашення короткострокових зобов'язань. Значення його повинне знаходиться в межах від 1 до 2-х. При розрахунку показника використовуються середні значення перемінних за розрахунковий період.

2. Коефіцієнт швидкої ліквідності.

Гроші+цінні папери+дебіторська заборгованість

Короткострокові зобов'язання (1.4.8)

Характеризує здатність фірми розплачуватися зі своїми кредиторами в сучасний момент.

Коефіцієнти ділової активності.

Дозволяють проаналізувати, наскільки ефективне підприємство використовує кошти.

3. А)Оборотність дебіторської заборгованості.

Показує середня кількість днів, необхідна для стягнення заборгованостей. Чим менше це число, тим швидше дебіторська заборгованість звертається в кошти, а отже підвищується ліквідність оборотних коштів підприємства. Високе значення коефіцієнта може свідчити про труднощів зі стягненням засобів по рахунках дебіторів.

Середнє значення дебіторської заборгованості *365

Сума виторгу за рік

Розрахунок проводиться для періоду 1 рік.

В) Оборотність дебіторської заборгованості (раз)

Обсяг продажів у кредит

Середнє значення дебіторської заборгованості

4. Середній термін погашення ДЗ.

365/оборотність ДЗ

5. Оборотність ТМЗ= (коеф. Оборотності оборотного капіталу)(разів)

Показує, на скільки ефективно компаній використовує інвестиції й оборотний капітал і як це впливає на зростання продажу.

Чим вище значення цього коефіцієнта, тим більше ефективно використовується підприємством чистий оборотний капітал.

Сумарний виторг за рік

Середнє значення чистого оборотного капіталу за рік Або

Вартість проданих товарів

Середнє значення статті ТМС (1.4.9)

6. Середній термін продажу ТМЗ

365/оборотність ТМЗ

7. Коефіцієнт оборотності основних засобів.

Фондовіддача. Характеризує ефективність використання підприємством наявних у його розпорядженні основних засобів. Чим вище значення коефіцієнта, тим більше ефективне підприємство використовує основні засоби.

Оборотні засоби - вартість запасів

Короткострокові зобов'язання (1.4.10)

Коефіцієнти, що відбивають інтереси довгострокових кредиторів

1. Коефіцієнт покриття процентних платежів.(раз)

Операційний прибуток

Річні процентні платежі (1.4.11)

Характеризує ступінь захищеності кредиторів від виплати відсотків за наданий кредит і демонструє: скільки разів протягом звітного періоду компанія заробив засобів для виплати відсотків по позиках.

2. Співвідношення позикового і власного капіталів.

Сумарні зобов'язання

Власний капітал (1.4.12)

Характеризує залежність фірми від зовнішніх позик. Чим вище це значення, тим більше позик і тем вище ризик неплатоспроможності.

3. Відношення позикового капіталу від загальної суми активів.

Зобов'язання ЗЕЗ - короткострокові зобов'язання

Активи

Демонструє, яка частка активів підприємства фінансується за рахунок довгострокових позик.

1.5 Аналіз фінансового стану підприємства

1). Коефіцієнт валового прибутку (прибутковість продажів) – в середньому посилаючись на лінію тренда, графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався у низ. Але реально з 1-го кварталу 2004 року який становив –76,8%, до 3-го кварталу 2007 року виріс до - 66,3%.

2). Коефіцієнт чистого прибутку (фінансова рентабельність продажів) - в середньому посилаючись на лінію тренда, графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався у низ. Становив з 1-го кварталу 2004 року 0,9%, до 3-го кварталу 2007 року впав до - 94%.

3). Коефіцієнт прибутку до виплати відсотків і податків (економічна рентабельність продажів) - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався у низ. Становив з 1-го кварталу 2004 року -84,1%, до 3-го кварталу 2007 року впав до - 94%.

4). Аналіз операційних витрат – в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався нагору. Але реально з 1-го кварталу 2004 року який становив 176,8%, до 3-го кварталу 2007 року впав до 166,3%.

5). Коефіцієнт собівартості реалізованої продукції – в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався у низ. Становив з 1-го кварталу 2004 року 19,6%, до 3-го кварталу 2007 року впав до 0,2%.

6). Коефіцієнт витрат по реалізації - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався нагору. Становив з 1-го кварталу 2004 року 0,3%, до 3-го кварталу 2007 року виріс до 6,1%.

7). Керування активами - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався нагору. Становив з 1-го кварталу 2004 року 0,3 раз, до 3-го кварталу 2007 року виріс до 0,7 разів.

8). Оборотність активів - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався нагору. Становив з 1-го кварталу 2004 року 0,5 раз, до 3-го кварталу 2007 року виріс до 4,7 разів.

9). Оборотність постійних активів - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався нагору. Становив з 1-го кварталу 2004 року 0,5 раз, до 3-го кварталу 2007 року виріс до 2,4 разів.

10). Керування оборотним капіталом - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався нагору. Становив з 1-го кварталу 2004 року 1,5 раз, до 3-го кварталу 2007 року виріс до 9,8 разів.

11). Оборотність запасів - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався нагору. Становив з 1-го кварталу 2004 року 1,5 раз, до 3-го кварталу 2007 року виріс до 8,8 разів.

12). Оборотність запасів по собівартості реалізованої продукції - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався нагору. Становив з 1-го кварталу 2004 року 1,0 раз, до 3-го кварталу 2007 року виріс до 1,2 разів.

13). Оборотність дебіторської заборгованості - в середньому посилаючись на лінію тренда, графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався у низ. Становив з 1-го кварталу 2004 року 374,6 днів, до 3-го кварталу 2007 року впав до 295,1 днів.

14). Середній період погашення дебіторської заборгованості - в середньому посилаючись на лінію тренда, графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався у низ. Становив з 1-го кварталу 2004 року 369,4 днів, до 3-го кварталу 2007 року впав до 331,2 дня.

15). Ліквідність - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався нагору. Становив з 1-го кварталу 2004 року 0,52 одиниці, до 3-го кварталу 2007 року виріс до 1,49 одиниць.

16). Коефіцієнт поточної ліквідності - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався нагору. Становив з 1-го кварталу 2004 року 0,60 одиниць, до 3-го кварталу 2007 року виріс до 1,19 одиниць.

17). Фінансовий леверидж - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався нагору. Становив з 1-го кварталу 2004 року 52,1%, до 3-го кварталу 2007 року виріс до 58,4%.

18). Коефіцієнт заборгованості - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2005 року рухався нагору. Становив з 1-го кварталу 2004 року 1,4%, до 3-го кварталу 2007 року виріс до 3,4%.

19). Коефіцієнт довгострокової заборгованості - в середньому посилаючись на лінію тренда графік в період з першого кварталу 2004 року по третій квартал 2007 року рухався нагору. Становив з 1-го кварталу 2004 року 108,6%, до 3-го кварталу 2007 року виріс до 140,3%.

1.6 Постановка задачі

Після того, як завод отримав статус відкритого акціонерного товариства, з`явились певні проблеми та складнощі. Завод з ремонту та будівництву пасажирських вагонів, після того як отримав статус відкритого акціонерного товариства, та в результаті чого з`явилися акціонери які мають надію отримати для себе певну вигоду. Відомо, що державні настанови далеко не зовсім співпадають з інтересами підприємців та акціонерів, бо у останніх мета отримати якомога більший прибуток. А для отримання максимального прибутку треба налагодити економічну діяльність підприємства, що є мабуть однією з найважливіших сторін підприємства. Якщо є питання з приводу того, що саме треба зробити для чіткої та організованої економічної моделі? То за відповіддю далеко йти не потрібно. Одним з методів поліпшення економіки є прогнозування зміни економічних показників у часі. Для цього беруться певні фінансові коефіцієнти по яким будується схема прогнозу. А саме нам потрібні наступні коефіцієнти:

- коефіцієнт зміни валового прибутку.

- коефіцієнт зміни прибутку до виплати відсотків і податків.

- коефіцієнт зміни аналізу операційних витрат.

- коефіцієнт зміни керуванням активами.

- коефіцієнт зміни оборотності постійних активів.

- коефіцієнт зміни оборотності запасів.

- коефіцієнт зміни ліквідності.

- коефіцієнт зміни поточної ліквідності.

- коефіцієнт зміни фінансового левериджу.

- коефіцієнт зміни довгострокової заборгованості.

- коефіцієнт зміни середнього періоду погашення дебіторської заборгованості.

Оскільки характер зміни цих вибраних коефіцієнтів нелінійних, потрібно застосовувати новітні методи отримання числових значень коефіцієнтів у формулах апроксимації.

2 ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

2.1 Опис методики отримання формул апроксимації довільного вигляду

Економічні цикли, сезонність продаж, цикл життя товару або послуги та інші чинники можуть суттєво впливати на економічні показники окремого підприємства. Періодичність економічних процесів викликана зміною життєвої активності людей протягом доби, тижня, місяця та року (існують і більші періоди циклічності).

Тому перед дослідниками постає задача підбору такого виду функції, яка б своєю формою відповідала основним формам періодичних і неперіодичних залежностей економічних процесів. Другою задачею є визначення коефіцієнтів обраної функції за вибіркою статистичних даних.

Існуючі в економіці залежності повинні мати не тільки періодичні функції, але й експоненціальні та степеневі. Тому була обрана наступна формула

, (2.1.1)

де х – аргумент, у – функція, A - Н – константи, e – основа натурального логарифму. В залежності від чисельних значень констант, ця формула дає множину кривих, представлену на рис.2.1.1.

Рис. 2.1.1 Типи кривих, які можна створити за допомогою формули (2.1.1)

Вирішення другої задачі ускладнюється тим, що не існує таких математичних перетворень, які б дозволили лінеаризувати (2.1.1), щоб потім отримати значення констант A - Н методом регресії або найменших квадратів. Тому був застосований наступний оптимізаційний підхід:

1. Встановити довільні значення констант A - Н .

2. Для всіх значень аргументу і довільних значень констант розрахувати величину у, яку позначимо як ур за формулою.

3. Для кожного значення функції знайти (ур – уф)2, де уф – фактичне значення функції, отримане за статистичними даними.

4. Вирішити оптимальну задачу з функціоналом виду

, (2.1.2)

а параметрами, що змінюються, будуть константи A - Н . Де N – розмір статистичної вибірки.

Вже перші розрахунки за допомогою функції “Пошук рішень” електрон-них таблиць Excel показали, що константи E та G визначаються як нулі у випадку, коли амплітуда синусоїди менше середнього значення функції у 3-10 разів. Тому, для збільшення точності розрахунку, рекомендується встановлювати обмеження на значення констант за наступним правилом:

1. На графіку, який було побудовано за статистичними даними, виділяється елемент кривої, що нагадує синусоїду і знаходиться проміжок значень аргументу, на якому ця синусоїда здійснює повне коливання – Δх. Тоді, для константи E треба встановити наступне обмеження

E ≤ (0,5 – 1,5) 2π/Δх1. (2.1.3)

2. Початкові значення констант B та F рекомендується становити рівними одиниці, константи Н – середньому арифметичному статистичного значення функції, константу – D - 0.05, А=0.

3. Константа C визначається з максимальної амплітуди Δу тієї частини графіку, яка визначена як синусоїдальна, і має наступні обмеження

С ≤ (0,4 – 0,6) Δу. (2.1.4)

Наведемо приклади застосування запропонованої методики. Нижче під заголовками наведені графіки різних періодичних процесів економіка, а в таблиці 2.1.1. подані значення констант для цих графіків, знайдені з урахуванням. В малюнках прийняті наступні умовні позначення ур – ■ уф – ♦.

Таблиця 2.1.1.

Номер рисунка	Значення констант для (1)
Номер рисунка	A	B	C	D	E	F	G	H
2	0,00145	7,34660	150000	-29,39	0,9	-0,436	-0,39	98923
3	11042,3	-3,901	25396,8	-0,899	0,855	0,8772	0,409	226049
4	-22,22	0,7731	4204,4	-0,009	0,0006	4,5492	7,829	285,39
5	595,51	-4,862	60	0,0235	1	0,8697	9,5	45
6	17,0537	0,57627	19,9770	-0,05	201,32	-94,12	1,684	30,100

Споживання палива енергогенеруючою компанією

Рис. 2.1.2. За місяцями Рис. 2.1.3. За днями тижня

Потік замовлень на підприємство зв’язку

Рис. 2.1.4. За днями тижня Рис. 2.1.5. За годинами робочого дня

Залежність прибутку приватного підприємства від свого попереднього значення.

В цьому випадку була використана так звана авторегресійна модель, тобто залежність прибутків та збитків (прибутків зі знаком мінус) від своїх попередніх значень. Оскільки формула не дає бажаного результату, якщо якесь число зі статистичної вибірки має від’ємне значення (константи B та F можуть бути дробовими, а, отже, жодне значення аргументу не може бути від’ємним, бо воно знаходиться через логарифмування), то до значень статистичної вибірки було додано число більше за найбільше за модулем від’ємне значення аргументу.

Рис.2.1.6 Прибуток за кварталами

З отриманих результатів проведених досліджень можна зробити наступні висновки:

1. Запропонований оптимізаційний алгоритм дозволяє будувати модель циклічних економічних процесів за будь-якою наперед обраною формулою.

2. Запропонована формула дозволяє будувати моделі різних за своєю природою економічних процесів.

2.2 Опис методики отримання числових коефіцієнтів за допомогою метода Ньютона

Метод Ньютона може бути віднесено до оптимізаційних задач в наступній постановці

$\begin{eqnarray}F_x&=&\{\partial f_i/\partial x_j\},\quad i,j=1,\ldots,n\nonum... ...quiv x-F^{-1}_x(x)f(x)\nonumber\\ x^{k+1}&=&x^k-F^{-1}(x^k)f(x^k),\end{eqnarray}$ (2.2.1)

тобто потрібно вирішити систему Fx(xk+1-xk)=-f(xk) . Будемо використовувати $x,\enskipf,\enskip g$ - розуміючи під цим вектора.

$\begin{equation}f(z)-f(y)=F(y,z)(z-y),\quad z,y\in G.\end{equation}$

Теорема 3. Якщо fi(x) безперервні, разом з першими похідними в опуклій області G , що містить рішення системи $X^{\ast}$ і при $x= X^{\ast}$ матриця Fx не вироджена, то існує така околиця $R \{\Vert x-X^{\ast}\Vert,<\delta\}$ що при кожнім $x^0\in R$ метод Ньютона сходиться к. $x^{\ast}$ $\Box$

Доказ. Розглянемо

$\begin{eqnarray*}f_i(z)-f_i(y)&=&\int^1_0\frac{d}{dt}f_i(y_1+t(z_1-y_1),\quady... ...um^n_{j=1}\frac{\partial}{\partial x_j}f_i(y+t(z-y))(z_j-y_j)dt.\end{eqnarray*}$ (2.2.2)

Введемо

$F_{ij}(y,z)=\int^1_0\frac{\partial}{\partial x_j}f_i(y+t(z-y))dt$

і матрицю

$F(y,z)=\{F_{ij}\}$ .

Очевидно, що F(x,x)= F(x) , тобто маємо тотожності

$\begin{eqnarray*}f(X^{\ast})&=&0,\enskip X^{\ast}=\varphi(X^{\ast})\equiv X^{\... ...st})f(X^{\ast})\\ x^{k+1}&=&\varphi(x^k)=x^k-F^{-1}_x(x^k)f(x^k),\end{eqnarray*}$ (2.2.3)

тоді

$x^{k+1}-X^{\ast}=x^k-X^{\ast}-F^{-1}_x(x^k)(f(x^k)-f(X^{\ast}))$

Використовуючи одержимо

$\begin{displaymath}x^{k+1}-X^{\ast}=\big[E-F^{-1}_x(x^k)F(X^{\ast},x^k)\big](x^k-X^{\ast}).\end{displaymath}$

Поблизу околиці $X^{\ast}$ для кожного $\delta\gt$ найдеться таке x0 , що якщо

$\Vert x^0-X^{\ast}\Vert<\delta$ ,

то $\begin{displaymath}\Vert E-F^{-1}_x(x^0)F(X^{\ast},x^0)\Vert\leq K<1.\end{displaymath}$

Тоді $\begin{displaymath}\vert x^1-X^{\ast}\Vert\leq K\cdot\delta<\delta,\end{displaymath}$

тобто

$\begin{eqnarray*}\Vert x^k-X^{\ast}\Vert& \leq &K^k\Vert x^0-X^{\ast}\Vert\\ li... ...}\Vert x^k-X^{\ast}\Vert&=&0,\quad lim_{k\to\infty}x^k=X^{\ast}.\end{eqnarray*}$

На початкове наближення x0 накладена умова, яку перевірити складно.

Теорема Канторовича 4. Якщо функції fi(x) безперервні разом зі своїми 1 -ми і 2 -ми похідними в деякій опуклій області G , що містить крапку x0 разом з її околицею $\{\Vert x-x^0\Vert\leq\rho\}$ і виконані наступні умови:

1) у крапці x0 існує матриця F-1 така

$\begin{displaymath}\Vert F^{-1}_x(x^0)\Vert _{\infty}\leq M_0\end{displaymath}$

2) $\Vert f(x^0)\Vert _{\infty}\leq\delta;\quad M_0\delta=r_0\leq\rho/2$ (2.2.4)

3) $\sum^n_{k=1}\arrowvert\frac{\partial^2f_i(x)}{\partial x_j\partial x_k}\arrowvert\leq N,\quad i,j=1,\ldots,n;\quad x\in R;$ (2.2.5)

4) $h_0=2nr_0M_0N\leq 1,$ (2.2.6)

те послідовність xk+1=xk-f-1x(xk)F(xk) сходиться к. $X^{\ast}$ $X^{\ast}$ є єдиним рішенням системи f(x)=0 в області $\Vert x-x^0\Vert\leq 2r_0$ і має місце оцінка

$\begin{displaymath}\Vert X^{\ast}-x^k\Vert _1\leq(\frac{1}{2})^{k-1}h^{2^k}_0r_0.\end{displaymath}$ $\Box$

Доведемо 3 нерівності

а) $\Vert f(x+\Delta x)-f(x)\Vert _{\infty}\leq F_x(\xi)\Vert\Vert\Delta x\Vert$

б) $\Vert F_x(x+\Delta x)-F_x(x)\Vert\leq nN\Vert\Delta x\Vert$

в) $\Vert f(x+\Delta x)-f(x)-F_x(x)\Delta x\Vert\leq\frac{1}{2}nN\Vert\Delta x\Vert^2_{\infty}$

а) $\begin{eqnarray*}\Vert f(x+\Deltax)-f(x)\Vert&=&max_i\vert\sum^n_{j=1} \frac{\... ...ial x_j}\vert\\ &\leq&\Vert\Deltax\Vert\cdot\Vert F_x(\xi)\Vert.\end{eqnarray*}$

б) $\begin{eqnarray*}\Vert F_x(x+\Deltax)-F_x(x)\Vert&=&max_i\sum^n_{j=1}\vert\sum... ...partial x_q\partial x_k}\vert\leq nN\Vert\Deltax\Vert _{\infty}.\end{eqnarray*}$

в) $\begin{eqnarray*}\Vert f(x+\Delta x)-f(x)-F_x(x)\Delta x\Vert&=&max_i\vert f_i... ...al x_k}\vert\\ &\leq&\frac{n}{2}\cdot\Vert\Delta x\Vert^2\cdot N.\end{eqnarray*}$

З ітераційного процесу при k=0

$\begin{displaymath}\Vert x^1-x^0\Vert=\Vert F^{-1}_x(x^0)f(x^0)\Vert\leq\Vert F^{-1}_x\Vert\Vert f(x^0)\Vert\leqM_0\delta=r_0<\frac{\rho}{2}.\end{displaymath}$

Тепер

$\begin{eqnarray*}\Vert E-F^{-1}_x(x^0)F_x(x^1)\Vert&=&\Vert F^{-1}_x(x^0)(F_x(x... ...0\Vert\\ &\leq&nr_0M_0N\\ &=& \frac{h_0}{2}\\ &\leq&\frac{1}{2},\end{eqnarray*}$

тобто матриця F-1x(x0)Fx(x1) не вироджена, і

$\begin{displaymath}\Vert\big[F^{-1}_x(x^0)F_x(x^1)\big]^{-1}\Vert\leq\frac{1}{1-h_0/2}\leq 2.\end{displaymath}$ $\begin{displaymath}\Vert E\Vert-\Vert A\Vert\leq\Vert E-A\Vert,\quad1-\alpha\l... ...rt A^{-1}\Vert\leq\frac{1}{\Vert A\Vert}\leq\frac{1}{1-\alpha}\end{displaymath}$ $\begin{displaymath}F^{-1}_x(x^1)=\big[F^{-1}_x(x^0)F_x(x^1)\big]^{-1}F^{-1}_x(x^0)\end{displaymath}$ і $\begin{displaymath}\Vert F^{-1}_x(x^1)\Vert\leq 2\cdot M_0.\end{displaymath}$

З Fx(x0)(x1-x0)+f(x0)=0

$\begin{equation}\Vert x^{k+1}-x^k\Vert\leq\frac{r_0}{2^{k-1}}h^{2^k-1}_0\leq\frac{r_0}{2^{k-1}};\quad x^{k+1}\in R(x^0)\end{equation}$ $\begin{displaymath}\Vert f(x^1)\Vert\leq\Vert f(x^1)f(x^0)-F_x(x_0)(x^1-x^0)\Vert\leq\frac{1}{2}nN\cdot r^2_0\end{displaymath}$ $\begin{displaymath}\Vert F^{-1}(x^1)f(x^1)\Vert\leq\frac{1}{2} nN\cdotr^2_0\cdot 2M_0=(M_0nr_0N)r_0=\frac{h_0r_0}{2}\leq\frac{r_0}{2}.\end{displaymath}$

Покажемо, що при всіх k мають місце нерівності:

$\begin{displaymath}\Vert F^{-1}_x(x^k)\Vert\leq 2M_0;\quad \Vert f(x^k)\Vert\leq\frac{nNr^2_0}{2^{2k-1}}h^{2^k-2}_0\leq\frac{nNr^2_0}{2^{2k-1}}.\end{displaymath}$ (2.2.6)

$\begin{displaymath}\Vert F^{-1}_x(x^k)f(x^k)\Vert\leq\frac{r_0}{2^k} \mbox{, при }k=1\mbox{ ужепоказали.}\end{displaymath}$

Нехай має місце m=k-1 $\begin{eqnarray*}\Vert x^{m+1}-x^m\Vert&=&\Vert F^{-1}_x(x^m)f(x^m)\Vert\leq\fr... ...1}}+\ldots+\frac{r_0}{2}+r_0<2r_0\leq\rho_0; x^{m+1}\in R_0(x_0)\end{eqnarray*}$

Повторимо нерівності

$\begin{eqnarray*}\Vert E-F^{-1}_x(x^m)F_x(x^{m+1})\Vert&\leq& 2^mM_0nN\frac{r_0... ...{2^m-2}_0=\frac{h^{2^m-1}_0r_0}{2^{m+1}}\leq\frac{r_0}{2^{m+1}}.\end{eqnarray*}$

Нерівність показує, що в колі R послідовність xk є фундаментальною, тобто мається межа.

Оцінимо збіжність

$\begin{eqnarray*}\Vert x^{k+p}-x^k\Vert&\leq&\Vert x^{k+p}-x^{k+p-1}\Vert+\ldot... ...\ldots+\frac{1}{2^{p-1}}\big]\leq\frac{r_0}{2^{k-1}}h^{2^k-1}_0,\end{eqnarray*}$

тобто, спрямовуючи $p\to\infty$ права частина не міняється, $\Vert X^{\ast}-x^k\Vert\leq\frac{r_0}{2^{k-1}}h^{2^k-1}_0$ , тобто при дуже гарна збіжність.

Модифікація методу Ньютона в тім, що F-1x(xkp) обчислюють не на кожнім кроці; при $k_p\leq k<k_{p+1}$ матриця не міняється, що різко зменшує число арифметичних дій, але накладає більш тверді обмеження на область і швидкість збіжності.

2.3 Методика розрахунку точності прогнозування за критерієм Персона

Для визначення точності прогнозування необхідно знайти різницю між прогнозованим і реальним значенням параметра.

Нуль-гіпотеза приймається, якщо критерій узгодження Пірсона (або «хі-квадрат»)

, (2.3.1)

буде менший або дорівнювати табличному значенню цього критерію при достатньо великому значенні довірчої ймовірності. Фрагмент таблиці критерію Пірсона χ2(r, р) поданий нижче. Тут п – розмір вибірки, kі – прогнозоване значення параметру; рі – реальне значення параметру: d – загальна кількість діапазонів, на які розбита область існування випадкової величини. r= d - 1 – число ступенів свободи.

Таблиця 2.3.1. Значення χ2(r, р)

r р	1	3	5	7	10	15	20	25	30
0,99	0	0,115	0,554	1,239	2,56	5,23	8,26	11,52	14,95
0,95	0,004	0,352	1,145	2,17	3,94	7,26	10,85	14,61	18,49
0,9	0,016	0,584	1,61	2,83	4,86	8,55	12,44	16,47	20,6
0,8	0,064	1,005	2,34	3,82	6,18	10,31	14,58	18,94	23,4

2.4 Результати отримання числових значень коефіцієнтів у апроксимаційних формулах

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11