Учебное пособие: Вычислительная математика

Рис. 6.1

Производную y'(t) в каждой точке (t, y) можно геометрически интерпретировать как тангенс угла a наклона касательной к графику решения, проходящего через эту точку, т е.: k = tga = f(t, y).

Уравнение (6.1) определяет целое семейство решений. Чтобы выделить одно решение, задают начальное условие:

y(t0 ) = y0,                                                                                                  (6.2)

где t0 – некоторое заданное значение аргумента t, а y0 – начальное значение функции.

Задача Коши заключается в отыскании функции y = y(t), удовлетворяющей уравнению (6.1) и начальному условию (6.2). Обычно определяют решение задачи Коши на отрезке, расположенном справа от начального значения t0, т. е.  для t Î [t0, T].

Разрешимость задачи Коши определяет следующая теорема.

Теорема 6.1.  Пусть функция f(t, y) определена и непрерывна при t0 £  t £  T, -¥ < y < ¥  и удовлетворяет условию Липшица:

| f(t, y1) – f(t, y2)| £ L| y1 – y2|,

где L некоторая постоянная, а  y1 , y2  –  произвольные значения.

Тогда для каждого начального значения y0 существует единственное решение y(t) задачи Коши для t Î [t0, T].

Даже для простых дифференциальных уравнений первого порядка не всегда удается получить аналитическое решение. Поэтому большое значение имеют численные методы решения. Численные методы позволяют определить приближенные значения искомого решения y(t) на некоторой выбранной сетке значений аргумента ti, (i = 0, 1, …). Точки ti называются узлами сетки, а величина hi = ti+1 –  ti –  шагом сетки. Часто рассматривают равномерные сетки, для которых шаг hi постоянен, hi = h = . При этом решение получается в виде таблицы, в которой каждому узлу сетки ti соответствуют приближенные значения функции y(t) в узлах сетки yi » y(ti).

 Численные методы не позволяют найти решение в общем виде, зато они применимы к широкому классу дифференциальных уравнений.

Сходимость численных методов решения задачи Коши.  Пусть y(t) – решение задачи Коши. Назовем глобальной погрешностью (или просто погрешностью) численного метода функцию ei = y(ti) –  yi , заданную в узлах сетки ti. В качестве абсолютной погрешности примем величину R = | y(ti) –  yi|

Численный метод решения задачи Коши называется сходящимся, если для него R ® 0 при h ® 0. Говорят, что метод имеет p-ый порядок точности, если для погрешности справедлива оценка R £ Chp, p > 0, C – константа, C ¹ 0.

6.2 Метод Эйлера

Простейшим методом решения задачи Коши является метод Эйлера.

Будем решать задачу Коши

y' (t) = f(t, y(t)).

y(t0 ) = y0,

на отрезке [t0, T]. Выберем шаг h = , и построим  сетку с системой узлов

ti = t0 + ih, i = 0, 1, …, n.

В методе Эйлера вычисляются приближенные значения функции y(t) в узлах сетки :yi » y(ti).

Заменив производную y' (t) конечными разностями на отрезках [ti, ti+1],  i = 0, 1, …, n – 1, получим приближенное равенство:

 = f(ti, yi),          i = 0, 1, …, n – 1,

которое можно переписать  так:

yi+1 = yi + h f(ti, yi),          i = 0, 1, …, n – 1.                                     (6.3)

Формулы (6.3)  и начальное условие (6.2) являются расчетными формулами метода Эйлера.

Геометрическая интерпретация одного шага метода Эйлера заключается в том, что решение на отрезке [ti, ti+1] заменяется касательной y = y' (ti)( t - ti), проведенной в точке (ti, y(ti)) к интегральной кривой, проходящей через эту точку. После выполнения n шагов неизвестная интегральная кривая заменяется ломаной линией (ломаной Эйлера).

Оценка погрешности. Для оценки погрешности метода Эйлера воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 6.2. Пусть функция f удовлетворяет условиям:

 £ K,            =  £ L.                                                (6.4)

Тогда для метода Эйлера справедлива следующая оценка погрешности:

R = | y(ti) –  yi| £  = ,

где l – длина отрезка  [t0, T]. Мы видим , что метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Оценка погрешности метода Эйлера часто бывает затруднительна, так как требует  вычисления производных функции f(t, y(t)). Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (правило двойного пересчета), которое используется для различных одношаговых методов, имеющих p-ый порядок точности. Правило Рунге заключается в следующем. Пусть y – приближения, полученные  с шагом , а y – приближения, полученные  с шагом h. Тогда справедливо приближенное равенство:

|y- y(ti)|  » |y- y| .                                                                   (6.5)

Таким образом, чтобы оценить погрешность одношагового метода с шагом , нужно найти то же решение с шагом h и вычислить величину, стоящую справа в формуле (6.5), т е.

R  » |y- y|                                                                                    (6.6)

Так как метод Эйлера имеет первый порядок точности, т. е. p = 1, то приближенное равенство (6.6) примет вид

R  » |y- y|                                                                                             (6.7)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда  будет выполнено условие:

R  » |y- y| < e.                                                                           (6.8)

Для метода Эйлера условие (6.8) примет вид

R » |y- y| < e                                                                                       (6.9)

Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.

Пример 6.1.

Найдем решение на отрезке [0, 1] следующей задачи Коши:

y' (t) = y – ,                                                                                          (6.10)

y(0) = 1.

Возьмем шаг h = 0.2. Тогда   n =  = 5.

В соответствии с (6.3) получим расчетную формулу метода Эйлера:

yi+1 = yi + 0.2  ,  y0 = 1,        i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Решение представим в виде таблицы 6.1:

Таблица 6.1

Уравнение (6.10) есть уравнение Бернулли. Его решение можно найти в явном виде:

y = .                                                                                        (6.11)

Для сравнения точного и приближенного решений представим точное решение (6.11) в виде таблицы 6.2:

Таблица 6.2

Из таблицы видно, что погрешность составляет R = | y(ti) –  yi| = 0.0917.

6.3 Модифицированные методы Эйлера

Первый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции y  в точках t = ti +  с помощью формулы:

y = yi +  fi  = yi +f(ti, yi).

Затем находится значение правой части уравнения (6.1) в средней точке

f = f(t, y)

и затем полагается

yi+1 = yi + h f,          i = 0, 1, …, n – 1.                                     (6.12)

Формулы (6.12) являются расчетными формулами первого модифицированного метода Эйлера.

Первый модифицированный метод Эйлера является одношаговым методом со вторым порядком точности

Второй модифицированный метод Эйлера – Коши. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения

 = yi + h f(ti, yi).                                                                               (6.13)

Затем приближения искомого решения находятся по формуле:

yi+1 = yi + [f(ti, yi) + f(ti+1, )],   i = 0, 1, …, n – 1.                           (6.14)

Формулы (6.14) являются расчетными формулами второго модифицированного метода Эйлера – Коши.

Второй модифицированный метод Эйлера – Коши, так же, как и первый,  является одношаговым методом со вторым порядком точности.

Оценка погрешности. Приближенная оценка погрешности модифицированных методов Эйлера осуществляется как и для простого метода Эйлера с использованием правила Рунге (см. предыдущий раздел 6.2). Так как оба модифицированных метода Эйлера имеют второй порядок точности, т. е. p = 2, то оценка погрешности (6.6) примет вид

R  » |y- y|.                                                                                       (6.15)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши модифицированными методами Эйлера с заданной точностью e.  Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда  будет выполнено условие:

R  » |y- y| < e.                                                                           (6.16)

Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.

Пример 6.2.

Применим первый  модифицированный метод Эйлера для решения  задачи Коши

y' (t) = y – ,  y(0) = 1,

рассмотренной ранее в примере 6.1.

Возьмем шаг h = 0.2. Тогда   n =  = 5.

В соответствии с (6.3) получим расчетную формулу первого модифицированного метода Эйлера:

yi+1 = yi + h f =  yi + 0.2 f, где

f = f(t, y) = y – ,

t = ti +  =  ti + 0.1,

y =  yi +f(ti, yi) = yi +0.1,

t0  = 0, y0 = 1, i = 0, 1, …, 4.

Решение представим в виде таблицы 6.3:

Таблица 6.3

Третий столбец таблицы 6.3 содержит приближенное решение yi, i = 0, 1, …, 5.

Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Виднм, что погрешность составляет R = | y(ti) –  yi| = 0.0042.

Пример 6.3.

Применим второй  модифицированный метод Эйлера – Коши  для решения  задачи Коши

y' (t) = y – , y(0) = 1,

рассмотренной ранее в примерах 6.1 и 6.2. Так же, как и ранее, зададим шаг h = 0.2. Тогда   n =  = 5.

В соответствии с (6.14) получим расчетную формулу метода Эйлера – Коши:

yi+1 = yi + [f(ti, yi) + f(ti+1, )] = yi + 0.1[f(ti, yi) + f(ti+1, )],

где

f(ti, yi) = yi –

 = yi + h f(ti, yi) = yi + 0.1

t0  = 0, y0 = 1, i = 0, 1, …, 4.

Решение представим в виде таблицы 6.4:

Таблица 6.4

Таблица 6.4 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 6.4 содержит приближенное решение yi, i = 0, 1, …, 5.

Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Видим, что погрешность составляет R = | y(ti) –  yi| = 0.0222.

6.4 Метод Рунге – Кутта

Метод Рунге – Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутта.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения

y' (t) = f(t, y(t))

с начальным условием y(t0 ) = y0.

Как и в методе Эйлера, выберем шаг h =    и построим  сетку с системой узлов ti = t0 + ih, i = 0, 1, …, n.

Обозначим через yi приближенное значение искомого решения в точке ti.

Приведем  расчетные формулы метода Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

yi+1 = yi + h(k+ 2k+ 2k + k),

k = f(ti, yi),

k = f(ti + , yi + k),                                                                          (6.17)

k = f(ti + , yi + k),

k = f(ti +h, yi + hk),

i = 0, 1, …, n.

Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге –  Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так как метод Рунге - Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6) примет вид

R  » |y- y|.                                                                                   (6.18)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда  будет выполнено условие:

R  » |y- y| < e.                                                                           (6.19)

Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.

Пример 6.4.

Методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке [0, 1] следующей задачи Коши.

y' (t) = 2ty,  y(0) = 1.                                                                               (6.20)

Возьмем шаг h = 0.1. Тогда   n =  = 10.

В соответствии с (6.17) расчетные формулы примут вид:

yi+1 = yi + h(k+ 2k+ 2k + k),

k = 2tiyi,

k = 2(ti + )(yi + k),                                                                          (6.21)

k = 2(ti + )(yi + k),

k = 2(ti +h)(yi + hk),

i = 0, 1, …, 10.

Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e, поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями ei = | y(ti) –  yi|.

Найденные по формулам (6.21) приближенные значения решения yi  и их погрешности ei представлены  в таблице 6.5:

Таблица 6.5

Задачи к зачету по курсу “Вычислительные методы”

Указание. Каждый студент вначале должен определить параметр своего контрольного задания, s = log10(1 +), где k - номер студента в списке группы, k = 1, 2, …  Решение задач должно быть оформлено аккуратно и содержать все промежуточные расчеты. В качестве образца можно взять примеры, рассмотренные в соответствующих разделах методических указаний.

1. Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения

4(1 –  x2)  –  ex = s  с точностью e  = 10-3.

2. Методом Зейделя решить систему уравнений с точностью e =10-3.

           6.2+s     2.2+s     1.2+s               16.55+s

A =     2.2+s     5.5+s    -1.5+s   ,  b =    10.55+s     .

          1.2+s    -1.5+s     7.2 +s                16.80+s

3. Найти приближение функции f(x) = esx  на отрезке [0, 1] многочленом Тейлора с точностью e = 10-3 . Вычислить es.

4. Вычислить приближенно по формуле средних прямоугольников интеграл  при n = 4 и оценить погрешность результата.

5. Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши

y' = 2sy; y(0) = 1,  на отрезке [0, 1] с шагом h = 0.2.

Сравнить с точным решением.

Указания к выполнению лабораторных работ

Программой курса предусмотрено проведение четырех лабораторных работ. Лабораторные работы ориентированы на использование системы Maple.

Система Maple V была создана группой символьных вычислений в 1980 году в университете Waterloo, Канада. В конце 1997 года вышла реализация Maple V R5.

Maple V принадлежит к классу прикладных программных пакетов, объединенных под общим названием Computer Algebra Systems (CAS) - системы компьютерной алгебры. Самым важным отличием Maple от таких пакетов как MathCad, MatLAB, Mathematica, является то, что она была изначально задумана как символьный пакет. Как и любой представитель данного семейства продуктов, Maple ориентирована на решение широкого ряда математических проблем. Она включает в себя большое количество специальных пакетов для решения задач линейной и тензорной алгебры, евклидовой и аналитической геометрии, теории чисел, теории графов, теории вероятностей, математической статистики, комбинаторики, теории групп, численной аппроксимации и линейной оптимизации, задач финансовой математики и многих других.

В основу Maple положен алгоритмический язык высокого уровня, предназначенный для реализации обычного процедурного программирования. Maple-язык "понимает" все стандартные объекты типа циклов (while, for), операторов условного перехода (if-then-else), массивов (array), списков (list), наборов (set), таблиц и т.д. Есть также возможность работы с файлами, что позволяет строить системы, состоящие из множества модулей, подгружая необходимые процедуры в процессе выполнения программы, а также реализовывать ввод и вывод больших объемов данных. Реализованы также все стандартные процедуры обработки строковой информации.

Применение Maple в образовании способствует повышению фундаментальности математического образования и сближает нашу образовательную систему с западной.

Лабораторные работы предполагают использование встроенных функций Maple, позволяющих решать основные задачи курса "Вычислительные методы".

В задачах используется параметр n – номер студента в списке группы.

Лабораторная работа №1.

Решение нелинейных уравнений и систем линейных уравнений.

Используемые функции: solve, fsolve,  plot.

1. Найти точное решение уравнения:5x2+2x – n = 0.

2. Найти приближенное решение этого же уравнения.

3. Построить график левой части уравнения.

4. Найти приближенное решение уравнения x2ex – n = 0.

5. Построить график левой части уравнения.

6. Найти точное решение системы уравнений.

2x1 + 6x2   – x3 = –12 + n

5x1 –  x2 + 2x3 =   29 + n

–3x1 – 4x2 +  x3 =     5 + n

7. Найти приближенное решение этой же системы уравнений.

Лабораторная работа №2.

Построение интерполяционных многочленов.

Используемые функции: interp, plot, subs.        

1. Найти приближение функции, заданной в точках, многочленом, значения которого совпадают со значениями функции в указанных точках.

x      1          3         5         7         9    

y    0+n     4+n     2+n     6+n     8+n

2. Построить график полученного интерполяционного многочлена .

3. Найти значение функции в точке x = 6.

Лабораторная работа №3

Вычисление определенных интегралов.

Используемые функции: int, plot, evalf.

1. Найти аналитическое выражение для неопределенного интеграла .

2. Построить графики найденного интеграла - красным цветом и подинтегральной функции - синим цветом.

3. Вычислить значение этого интеграла в пределах от 2 до n + 2:

4. Вычислить приближенное значение интеграла .

Лабораторная работа №4

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Используемые функции: dsolve, plot, odeplot, op, with.

1. Найти аналитическое решение задачи Коши: y'(t) = (1/n)(t + y), y(0) = n.

2. Построить график найденного решения на отрезке [0, n].

3. Найти численное решение задачи Коши y'(t) = sin(ny(t))+t2),  y(0) = n  в точках t = 1 и t = 2.

4. Построить график найденного решений на отрезке [0, 5].

Указания к выполнению курсовых работ

Цель курсовой работы – приобретение студентами практического опыта реализации на ЭВМ алгоритмов численных методов  для конкретных задач. Язык программирования выбирает студент.

Требования к выполнению курсовой работы

Результаты курсовой работы оформляются в виде отчета. Отчет по курсовой работе должен содержать следующие разделы:

1. Постановка задачи.

2. Описание математического метода.

3. Описание алгоритма реализации математического метода в виде блок-схемы или по шагам.

4. Листинг программы.

5. Контрольный пример. Анализ полученных результатов.

Темы курсовых работ

Решение нелинейных уравнений

Указание. В курсовых работах 1 – 10 необходимо проанализировать два предложенных метода решения нелинейных уравнений, написать алгоритмы и программы этих методов. С помощью этих программ решить контрольный пример, предварительно локализовав корни уравнения (п. 2.2). Дать сравнительный анализ полученных результатов.

1. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом  простых итераций.

Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения x5 – x –  1 = 0 с точностью e  = 10-5.

Указание. При применении метода простых итераций преобразовать исходное уравнение так, чтобы итерационный процесс сходился (п. 2.4).

2. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом секущих.

Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 – 4x2 + 2 = 0  с точностью e  = 10-5.

3. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом Ньютона.

Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 + 3x2 – 1 = 0  с точностью e  = 10-5.

4. Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам и методом ложного положения.

Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 + 3x2 – 1 = 0  с точностью e  = 10-5.

5. Решение нелинейных уравнений методом  простых итераций и методом Ньютона.

Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения  x = 0.5 с точностью e  = 10-5.

6. Решение нелинейных уравнений методом  простых итераций и методом секущих.

Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения  x = 0.5 с точностью e  = 10-5.

7. Решение нелинейных уравнений методом  простых итераций и методом ложного положения.

Контрольный пример. Найти один действительный корень уравнения  x = 0.5 с точностью e  = 10-5.

8. Решение нелинейных уравнений методом секущих и методом Ньютона.

Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 + 3x2 – 3 = 0 с точностью e  = 10-5.

9. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона и методом ложного положения.

Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 + x2 – 10x +8 = 0 с точностью e  = 10-5.

10. Решение нелинейных уравнений методом секущих и методом ложного положения.

Контрольный пример. Найти три корня уравнения x3 – x2 – 4x +4 = 0 с точностью e  = 10-5.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

11. Решение системы линейных алгебраических уравнений простым методом исключения Гаусса.

Контрольный пример. Решить систему уравнений

2.1x1  – 4.5x2  –  2.0x3   =  19.07

3.0x1 + 2.5x2 +  4.3x3  =  3.21

–6.0x1  + 3.5x2 + 2.5x3  =  –18.25

12. Решение системы линейных алгебраических уравнений  методом исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу

Контрольный пример. Решить систему уравнений

1.00x1 + 0.42x2  +  0.54x3 +  0.66x4  =  0.3

0.42x1 + 1.00x2 +  0.32x3  +  0.44x4 =  0.5

0.54x1  + 0.32x2 + 1.00x3 +  0.22x4  =  0.7

0.66x1 + 0.22x2 + 1.00x3  –  1.0x4  =  0.9

13. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом простых итераций Якоби.

Контрольный пример. Решить систему уравнений с точностью e  = 10-5.

–3.0x1  + 0.5x2  + 0.5x3 =  –56.65

0.5x1  – 6.0x2 +  0.5x3 = –160

0.5x1  + 0.5x2  – 3.0x3  =  –210

14. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.

Контрольный пример. Решить систему уравнений с точностью e  = 10-5.

10x1  + 2x2  + x3 =  10

x1 + 10x2 +  2x3 = 12

x1  + x2  + 10x3  =  8

15. Вычисление определителя методом исключения Гаусса.

Контрольный пример. Вычислить определитель

det A = 3.0    1.5    0.1    1.0

0.4    0.5    4.0    6.5

0.3    1.2    3.0    0.7

1.8    2.2    2.5    1.4

16. Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса.

Контрольный пример. Вычислить обратную матрицу A-1 для матрицы

A =    6.4375    2.1849   –3.7474    1.8822

 2.1356    5.2101    1.5220   –1.1234

 –3.7362    1.4998    7.6421    1.2324

 1.8666   –1.1004    1.2460    8.3312

17. Интерполяция  функции многочленами Лагранжа.

Контрольный пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции y = eпо точкам, заданным таблицей

Оценить погрешность интерполяции на отрезке [0, 1]. Вычислить y(0.4) и y(0.8).

18. Метод наименьших квадратов. Линейная и квадратичная аппроксимация

Численное интегрирование функций одной переменной

Указание. В курсовых работах 19 – 22 необходимо проанализировать  предложенные методы численного интегрирования функций одной переменной, написать алгоритмы и программы этих методов. С помощью этих программ решить контрольный пример. Проконтролировать погрешность, использовав правило Рунге (п. 5.5). Если можно, вычислить точное значение интеграла. Дать сравнительный анализ полученных результатов.

19. Решение задачи численного интегрирования методом средних, левых и правых прямоугольников.

Контрольный пример. Вычислить ,  n = 10.

20. Решение задачи численного интегрирования методом средних прямоугольников и трапеций.

Контрольный пример. Вычислить ,  n = 10.

21. Решение задачи численного интегрирования методом средних прямоугольников и Симпсона.

Контрольный пример. Вычислить   , n = 10.

22. Решение задачи численного интегрирования методом  трапеций и Симпсона.

Контрольный пример. Вычислить ,  n = 10.

Численное решение дифференциальных уравнений

Указание. В курсовых работах 23 – 26 необходимо проанализировать  предложенные методы численного решения задачи Коши, написать алгоритмы и программы этих методов. С помощью этих программ решить контрольный пример. Проконтролировать погрешность, использовав правило Рунге (пп. 6.2, 6.3, 6.4). Найти точное решение. Дать сравнительный анализ полученных результатов.

23. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений  простым методом Эйлера и первым модифицированным  методом Эйлера.

Контрольный пример. Найти численное решение задачи Коши

y' = y3,  y(0) = 0.5

на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.2.

24. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений  простым методом Эйлера и вторым  модифицированный метод Эйлера – Коши.

Контрольный пример. Найти численное решение задачи Коши

y' = t2,  y(0) = 1

на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.2.

25. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первым модифицированным  методом Эйлера и вторым  модифицированный метод Эйлера – Коши.

Контрольный пример. Найти численное решение задачи Коши

y' = sint,  y(0) = 1

на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.2.

26. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений  простым методом Эйлера и методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности.

Контрольный пример. Найти численное решение задачи Коши

y' = 2cost,  y(0) = 0.

на отрезке [0, 2] с шагом h = 0.2.

Краткие сведения о математиках

Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) – немецкий математик и физик, работы которого оказали большое влияние на развитие высшей алгебры, геометрии, теории чисел, теории электричества и магнетизма.

Зейдель Людвиг (1821 – 1896) – немецкий астроном и математик.

Коши Огюстен Луи (1789 – 1857) – французский математик, один из создателей современного математического анализа, теории дифференциальных уравнений и др.

Крамер Габриэль (1704 – 1752) – швейцарский математик.

Кутта В. М. (1867 – 1944) – немецкий математик.

Лагранж Жозеф Луи (1736 – 1813) – французский математик, механик и астроном. Один из создателей математического анализа, вариационного исчисления, классической аналитической механики.

Липшиц Рудольф (1832 – 1903) – немецкий математик.

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646 – 1716) – немецкий математик, физик и философ. Один из создателей дифференциального и интегрального исчислений.

Ньютон Исаак (1643 – 1727) – английский физик, механик, астроном, заложивший основы современного естествознания.

Рунге Карл Давид Тольме (1856 – 1927) – немецкий физик и математик.

Симпсон Томас (1710 – 1761) – английский математик.

Тейлор Брук (1685 – 1731) – английский математик и философ. Широко известная формула разложения функции в степенной ряд была получена им в 1712 г.

Эйлер Леонард (1707 – 1783) – математик, физик, механик, астроном. Родился в Швейцарии, с 1726 по 1741 г. и с 1776 по 1783 г. работал в России.

Якоби Карл Густав Якоб (1804 – 1851) – немецкий математик.

Список литературы

1. Амосов А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994.

2. Бахвалов Н. С. Численные методы. –  М.: Наука, 1973.

3. Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, 1987.

4. Дьяконов В. П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. – М.: Изд-во "СОЛОН", 1998.

5. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978.

6. Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972.

7. Пирумов У.Г. Численные методы.: Учебное пособие. – М.: Изд-во МАИ, 1998.